2.2 較短內液滴的模式轉變規律

定義內外液滴的初始長度為 Li、Lo，通過主通道寬度進行無量綱化，得到內、外液滴無量綱長度Li/w 和 Lo/w。當內液滴初始長度為一個較小值Li/w=1.04 ， 并 固 定 毛 細 數 為 Cai=1.88×10-2 和Cao=1.09×10-2 時，隨著外液滴長度從 Lo/w=2.54 增加到 Lo/w=2.85，雙乳液滴的流動模式從不分裂轉變為一次分裂。圖 3 顯示了兩種模式下的界面演化過程，根據頸部寬度和延伸長度等特征參數的變化特性，將不分裂模式下的液滴運動過程劃分為擠壓、過渡和恢復三個階段，將一次分裂模式下的液滴運動過程劃分為擠壓、過渡和斷裂三個階段。圖 4 給出了無量綱特征參數隨時間的定量演化情況。特征參數包括：外液滴延伸長度 lo、內液滴延伸長度 li、外頸部寬度 δo、內頸部寬度 δi 和間隙寬度 d，示意圖如圖 3（a）所示。由于擠壓力、剪切力與間隙寬度呈反比，如果內液滴偏移，內液滴偏移的反方向的間隙寬度更大，對受力的影響更大，本文重點關注擠壓力、剪切力與界面張力對液滴運動行為的影響，因此選取內液滴遠離一側的間隙寬度；而當內液滴不偏移時，液滴兩側間隙寬度基本一致，選取液滴兩側間隙寬度的平均值。所有與長度相關的量均通過主通道寬度 w 進行無量綱化，時間通過 w/U 進行無量綱化，定義無量綱時間為T=Ut/w，將雙乳液滴完全進入分岔結構處的時刻定義為初始時間 T=0。由于液滴初始長度不同，為了更加直接地比較延伸速率，采用液滴延伸長度的增量 Δlo 和 Δli，表示液滴瞬時長度在任意時刻與初始時刻之間的差值。

圖 3 不同外液滴長度下的界面演化

對于不分裂模式（Lo/w=2.54），雙乳液滴在擠壓階段仍然會發生變形，內、外液滴均沿分支通道方向延伸，如圖 3（a）所示，由于內、外液滴體積固定，頸部寬度隨著延伸逐漸減小。而內液滴體積較小、曲率大、界面張力大，內液滴進入 T 形分岔結構后始終保持完整，并且頸部寬度變化較小，所以沒有對內液滴頸部寬度的變化過程展開詳細討論。當 T=0.66 時，運動過程進入過渡階段，外液滴與通道壁面之間開始形成間隙并且間隙寬度逐漸增加，如圖 4（d）所示。一部分連續相從間隙流過而非擠壓液滴，而且擠壓力和剪切力都與間隙寬度的冪次方成反比，因此，驅動力隨時間減小，內、外液滴的延伸速率與外液滴的頸縮速率逐漸下降，如圖 4（a）-（c）所示。當驅動力降低至無法克服界面張力時，界面張力開始起主導作用，使得內、外液滴無法繼續變形，延伸長度和頸部寬度都達到相應的穩定值，并持續一段時間。

圖 4 不同外液滴長度下無量綱特征參數的演化情況

在過渡階段，界面張力與驅動力之間的競爭使得內液滴末端之間逐漸形成曲率差，由此引發的張力梯度驅動內液滴向曲率較小的方向完成橫向偏移。在內液滴的影響下，外液滴會跟隨內液滴向相同的方向移動，如圖 3（a）所示。此外，外液滴內部的流動還會擠壓頸部，使得頸部寬度在 T=2.34 之后開始增加（圖 4（c）），表明運動過程進入恢復階段。隨著整體向支路的偏移，內、外液滴的延伸長度和頸部都逐漸恢復至接近初始狀態。需要注意的是，內液滴從最大延伸長度開始恢復的時刻明顯早于外液滴，表明外液滴的恢復受到內液滴的影響。對于一次分裂模式（Lo/w=2.85），內液滴的演變過程與不分裂模式的類似，不同的是外液滴會發生分裂，如圖 3（b）所示。從圖 4 可以看出，擠壓階段中兩種模式的延伸速率以及外液滴頸部的縮減速率幾乎一致，但隨著間隙的出現，一次分裂模式的延伸速率明顯大于不分裂模式的延伸速率。由于外液滴長度的增加，間隙出現時間 T=1.03 明顯比不分裂模式下的出現時間 T=0.66 晚，并且間隙寬度增加的速度較慢，如圖 4（d）所示。因此，界面受到的驅動力也增加，內、外液滴延伸速率和頸部寬度的縮減速率較大。這也導致顯著不同的結果，由于外液滴發生持續變形，即使受到內液滴影響而產生橫向偏移，外液滴仍然會在 Rayleigh–Plateau 不穩定性的作用下發生分裂。當 T=1.78 時，運動過程進入斷裂階段，頸部縮減速度突然增加，界面發生快速斷裂，頸部斷裂產生的巨大壓力使內液滴快速恢復至初始狀態。

2.3 較長內液滴的模式轉變規律

當內液滴 的初始 長 度 保 持 在 一 個 較 大 值Li/w=1.6 ， 并 固 定 毛 細數為 Cai=2.50×10-2 和Cao=1.46×10-2 時，隨著外液滴長度的增加，流動模式從不分裂轉變為二次分裂，如圖 5 所示。不同外液滴長度下無量綱特征參數的演化情況如圖 6 所示。

圖 5（a）中的不分裂模式與圖 3（a）所示的情況非常相似，雙乳液滴的演變過程依然可以分為擠壓、過渡和恢復三個階段，特征參數的演化過程也基本一致，此處不再贅述。隨著外液滴長度的增加，間隙寬度減小，甚至可能呈現如圖 5（b）和 6（d）所示的一直為零的結果，即液滴處于阻塞狀態。此時連續相施加的擠壓力足以克服內、外液滴的界面張力，因此，內、外液滴以近似恒定速度向支路方向持續延伸，直至最終斷裂，如圖 6（a）和（b）所示。

在擠壓階段，內、外液滴尾部之間存在初始間距，而外液滴頸部的縮減速率大于內液滴，使得界面之間的距離不斷減小，如圖 6（c）所示。當 T=0.5時，運動過程進入過渡階段，界面之間的距離達到最小。由于界面間相互作用，施加在外界面上的驅動力推動內、外界面一起減薄，導致外液滴的縮減速度減小，內液滴的縮減速度增加，內、外液滴尾部之間的間距不斷減小，導致內、外頸部的減薄過程逐漸重合，這與 Liu 等的結果相似。當 T=1.25時，運動過程進入斷裂階段，由于 Rayleigh–Plateau不穩定性，內、外液滴頸部都發生快速斷裂。

圖 5 不同外液滴長度下的界面演化

圖 6 不同外液滴長度下無量綱特征參數的演化情況

2.4 通道結構對模式轉變的影響

對比前兩節的結果可知，雙乳液滴在分岔結構運動時，內外液滴之間可能會存在相互作用，并且作用的結果依賴于液滴的初始長度和毛細數等參數，使得雙乳液滴表現出不同的流動模式。下面通過這些關鍵參數建立流動模式的分布圖，并從整體上分析模式間的轉變規律。

針對單乳液滴，現有研究已經建立了較為完善的流動模式轉變理論，利用毛細數 Ca 和無量綱液滴長度 L/w 可以定量確定液滴分裂的臨界條件，表示為冪函數關系式 L/w=εCaη，式中，ε 和 η 為無量綱的擬合參數。如圖 7 所示，通過外液滴或內液滴的毛細數和初始長度，可以分別建立對應分裂的臨界條件。其中，數據點為 T 形分岔結構中的實驗結果，分別表征不分裂模式（NB）、一次分裂模式（OB）、二次分裂模式（TB），藍色實線為對應的臨界閾值線，分別表示為 Lo/w=0.79Cai-0.25 和Li/w=0.5Cai-0.5。可以發現，當毛細數固定時，增加液滴長度更有利于分裂，這與前面展示的結果是一致的。此外，如圖中的黑色虛線所示，Y 形分岔結構中的分裂閾值線分別表示為 Lo/w=0.73Cai-0.25 和Li/w=0.42Cai-0.5。通過對比可知，Y 形分岔結構中的液滴更容易發生分裂，這主要是因為 Y 形分岔結構中尖角對界面變形的促進作用。另一方面，尖角使得液滴發生橫向偏移的阻力更大，由圖 5 可知，當液滴保持在分岔結構的中間位置時，頸部縮減速度更大，更易于液滴的分裂。

圖 7 雙乳液滴分裂臨界閾值

為了更直觀地展示流動模式的分布及控制參數的影響，可以利用內、外液滴所涉及的 4 個控制參數建立如圖 8 所示的分布圖，其中的數據點與圖 7中的數據相同，為 T 形分岔結構中的實驗結果。水平線代表外液滴分裂的臨界線，表征作用在外界面上的驅動力；豎直線代表內液滴分裂的臨界條件，表征作用在內界面上的驅動力。顏色所對應的結構與圖 7 保持一致，藍色實線代表 T 形結構，黑色虛線代表 Y 形結構。

圖 8 雙乳液滴流動模式分布圖

毛細數較小時，即圖 8 中的左下角區域，較小的驅動力無法克服界面張力，因此呈現不分裂模式（NB）。隨著外液滴長度增加，即圖 8 中的左上角區域，外液滴分裂所需要克服的界面張力減小，并且間隙減小導致驅動力增加，因此外液滴可以分裂；然而內液滴較大的界面張力仍然無法被克服，最終呈現一次分裂模式（OB）。當內液滴長度也增加時，即圖 8 中的右上角區域，其界面張力也更加容易被克服，因此內、外液滴都發生分裂，呈現二次分裂模式（TB）。需要說明的是，右下角區域不分布任何數據點，因為外液滴對內核液滴的包裹，物理上不可能出現內液滴發生分裂而外液滴完好無損的現象。此外，T 形分岔通道的分裂臨界線總是比 Y 形通道的要高，表明了 Y 形分岔結構對液滴分裂的促進作用。總之，三種模式被很好的劃分在不同的區域，并且模式之間的轉變規律非常清楚，表明了圖8 建立的分布圖的有效性。

3 結論

本文通過實驗研究了 T 形和Y形兩種分岔結構中的雙乳液滴運動特性，劃分了二次分裂、一次分裂以及不分裂三種流動模式。隨著外液滴長度的增加，確定了兩種流動模式轉變規律，當內液滴長度較小時，從不分裂轉變為一次分裂；當內液滴長度較大時，從不分裂轉變為二次分裂。模式轉變的原因是液滴長度增加后界面受力的增大，使液滴更容易發生分裂，通過液滴初始長度和毛細數可以定量表示分裂的臨界閾值，并建立 4 個控制參數決定的流動模式分布圖。相比于 T 形結構，Y 形結構的尖角更有利于液滴界面的變形，有助于分裂。本研究有助于進一步加深對微尺度多相流動機理的理解，為調整雙乳液滴的尺寸、殼厚、多分散性等特性提供技術指導。

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