1.引言

紙是由纖維素和纖維素之間的孔隙所構成的多孔結構。纖維素通過機械或者化學制漿的方法從木料中分離出來，纖維素與水的懸浮物經過攪拌、過濾、絲網沉降、干燥等單元操作便形成了紙張。紙的孔隙結構和形貌具有各向異性和無序的特點(圖 1)。在沉降過程中纖維素逐層堆積，一層內的纖維一般不會交織到鄰近兩層以外的層內，不同層間纖維素通過氫鍵連接，從而維持結構的整體性。各層內纖維分布的位置、方向和形貌都是隨機的。單根纖維素的截面中空(圖 2)，其截面直徑為幾十微米(~20 μm)，纖維長度為毫米量級(~2 mm)遠大于截面尺寸。一般而言，紙在厚度方向具有 10 層左右纖維，在面內方向的特征孔隙尺寸為幾十微米。

紙在許多應用中的性能都與其孔隙微結構內的流動特性相關。例如，辦公用紙為保持表面光潔且不透光需要在表面噴涂微細顆粒進行修飾，紙的孔隙結構對噴涂料的滲流過程具有重要影響；墨料在紙孔隙內的擴散對印刷質量具有很大的影響；包裝紙中氣體的穿透性能也與孔結構密切相關。近年來，紙質微流控芯片被廣泛應用于即時檢測，具有快速、成本低和操作簡單等優點，在疾病、環境和食品安全檢測和監控等領域具有重大應用前景。這其中涉及到毛細力驅動下檢測液體在試紙孔隙結構內的反應滲流過程，因此研究紙內滲流特性及其與微結構的關系對于解釋檢測結果和提高檢測的靈敏度和準確度都有重要意義。本文主要概述了紙內毛細滲流理論和流動控制及其在即時檢測應用中的研究進展。

2.  宏觀毛細滲流

2.1.  單向滲流

潤濕液體在試紙內的自吸滲流由三相界面處的毛細力驅動，毛細力的大小由拉普拉斯方程確定：

其中 σ 為液體的表面張力，θ 為接觸角，r eff 為多孔介質的等效半徑。飽和液體在試紙內的粘性流動阻力通過達西定律計算：

其中，μ 為液體的動力粘度；ε 和 K 分別為孔隙率和滲透率，兩者都是多孔介質的結構參數，v 為流動速度，L 為已吸入試紙內液體的長度。將流速寫成吸入試紙內液體的長度對時間的倒數并代入式(2)可得：

吸入液體的流動加速度僅在試紙與液體接觸的初始階段具有影響[3]，如果忽略加速度引起的慣性力，吸入液體流動受毛細力與粘性力平衡控制：

式(5)即為描述潤濕液體在多孔介質中毛細滲流過程的 Washburn 方程，最早由 Washburn 考慮液體在毛細管內的上升過程推導得到[4]。式(5)表明吸入液體長度與時間的 0.5 次方成正比。Washburn 方程適用于紙片水平放置下的吮吸過程，當紙豎直放置時還需要考慮重力的影響，考慮毛細力、粘性力、重力平衡的控制方程為[5]：

液體沿紙面上升的過程中會從表面蒸發，蒸發導致紙內液體的流量(流速)增大，附加流量會產生附加粘性流動阻力，這部分附加阻力可采用達西定律描述，考慮毛細力、粘性力、重力、蒸發效應的控制方

程為[5]：

式(7)中最后一項為蒸發導致液體在紙內流動產生的達西粘性流阻，P 為紙的潤濕周長，A 為橫截面積。em&為濕紙面的蒸發速率——單位面積單位時間蒸發質量，假定為常量，即不隨紙面位置和時間改變，其值取決于液體種類、溫度、以及空氣飽和度。

Washburn 方程及其改進模型假定液面所經過部分的孔隙內的液體完全飽和，孔隙內液體飽和度在吸入前緣位置存在跳躍變化，但實驗觀察發現在液體上升到一定高度后液體飽和度在吸入前緣附近存為梯度變化，通過求解 Richard 方程考慮非飽和液體在多孔介質中毛細吮吸過程。

2.2.  徑向滲流

徑向滲流考慮在多孔介質中心半徑為 R 0 的區域不受限制供液，液體在毛細力驅動下在多孔介質內的徑向擴散過程。為推導液體擴散半徑與時間的關系，我們從達西定律出發：

其中 Q 為體積流量，A (= 2πRH)為橫截面積，H 為紙的厚度。式(8)積分得到：

其中 Q 為體積流量，A (= 2πRH)為橫截面積，H 為紙的厚度。式(8)積分得到：

ΔP c 為毛細壓差，R 為濕部多孔介質的半徑。將體積流量(流速)寫成濕部半徑對時間的倒數：

注意，式(10)及式(2)中的速度 v 為多孔介質孔隙平均速度。將式(10)代入式(9)可得：

式(11)積分并將毛細壓差 ( ) 2 cosc effP r σ θ ? = 代入濕部半徑與時間的解析關系[8] [9]：

2.3.  液滴滲流

包括即時檢測在內的很多應用中都涉及到液滴在紙內的滲流，目前有關液滴在多孔介質內毛細滲流的理論研究較少，主要是實驗研究。實驗結果表明液滴掉落在紙上后的滲流過程可分為兩個階段：初始侵入紙內過程和后期慢速擴散過程。液滴在紙面上擴散開的半徑隨時間關系為[10]：

其中 V 為液滴體積，K 為經驗參數，時間項指數 n 為 0.3 左右，比徑向滲流情況下 n = 1 小得多。Danini和 Marmur [11]進行了如圖 3 所示的四種情況紙吸水試驗，(a) 水平單相滲流；(b) 液滴滲流；(c) 無限供液徑向滲流；(d) 受限供液徑向滲流。其中圖 3(d)中受限供液試驗是將圖 3(c)中液池與紙之間連接的毛細導體在一段時間后移除，以類比圖 3(b)中液滴滲流時受限供液的情形。結果表明，液滴滲流的擴散速度比徑向滲流慢，而與受限供液徑向滲流的動力學接近，因此揭示了液滴滲流比徑向滲流擴散速度慢的原因是由于受限和無限供液所導致的。

作者：馮上升，陳玧如，盧天健，徐 峰 

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